Matemáticas

Rectas

Definición de recta

Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección. Una recta tiene una sola dimensión: la longitud. Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula. Dos puntos determinan una recta. Unarecta indica una dirección y dos sentidos contrarios.

Clases de recta

Secante

Las rectas secantes se cortan en un punto.

Paralelas

Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto.

Coincidentes

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes

Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90º.

Coincidentes

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

Angulo

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Ángulos relacionados

En función de su posición, se denominan:

• ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,
• ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,
• ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
• ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal.

En función de su amplitud, se denominan:

• ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo,
• ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°,
• ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°,
• Ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.

Ángulos de un polígono

En función de su posición, se denominan:

• ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente.
• ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.
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Ángulos respecto de una circunferencia

Ángulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de unacircunferencia, puede ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo, no es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Trisección del ángulo

La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando sólo regla y compás. En general, es imposible de resolver con esas condiciones.

Ángulos tridimensionales

• El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
• El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.
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MEDIDAS de ANGULOS

La unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir un ángulo   recto en 90 partes iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90º. El sistema de   medición de los  ángulos se llama sexagesimal y está formado por las siguientes   medidas menores al  grado:

Triángulo

El triángulo es un polígono de tres lados.

Un triángulo, en geometría,es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no coloniales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triangulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

• Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).
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Los triángulos rectángulos pueden ser:

• Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el      diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que estos dos.

• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo	equilátero	isósceles	escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo

Propiedades de los triángulos

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Geometría

La geometría (del latín geometría, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y merita medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, recta, planos, poli topo (que incluyen paralela, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, entre otros.).

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada,mecánica, arquitectura, cartografía, astronomita, náutica, topografía, balística, entre otros. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.

Polígono

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado a veces su cuerpo. El polígono es el caso bidimensional del poli topo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un poli topo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se llama poli coro.

La palabra polígono deriva del griego antiguo πολύγωνος (polígonos), a su vez formado por πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’. Aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados.

La noción geométrica elemental ha sido adaptada de distintas maneras para servir a propósitos específicos. Los matemáticos a menudo les interesan solo la línea poligonal cerrada y los polígonos simples, los cuales no se intersecan por sí mismos, y pueden definir un polígono de acuerdo a ello. Es requisito geométrico que dos lados que se intersecan en un vértice formen un ángulo no llano (distinto a 180º), ya que de otra manera los segmentos se considerarían partes de un lado único, sin embargo, matemáticamente, esos vértices podrían permitirse algunas veces. En el ámbito de la computación, la definición de polígono ha sido ligeramente alterada debido a la manera en que las figuras son almacenadas y manipuladas en la computación grafica para la generación de imágenes.

Elementos de un polígono

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:

• Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
• Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.
• Diagonal (D): es el segmento que une dos vértices no continuos.
• Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
• Semiperímetro (SP): es la mitad perímetro.
• Ángulo interior (AI): es el ángulo formado internamente por dos lados consecutivos.
• Ángulo exterior (AE): es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

En un polígono regular se puede distinguir, además:

• Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
• Ángulo central (AC): es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
• Apotema(a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
• Diagonales totales, en un polígono de lados.